Mengenal Mean, Median dan Modus
Pengertian Mean
Mean adalah nilai rata-rata dari beberapa buah data. Nilai mean dapat ditentukan dengan membagi jumlah data dengan banyaknya data. Mean adalah sebuah rata-rata dari data yang diperoleh berupa angka. Mean dikerjakan dengan menjumlahkan semua data lalu dibagi banyak data. Misalnya:
Tentukan mean dari 6,4,5,7,8,4,6,7,7
Penyelesaian: Jumlahkan terlebih dahulu datanya 6+4+5+7+8+4+6+7+7= 54
Lalu hitung banyak data yaitu sebanyak 9
Setelah itu jumlah data dibagi banyak data maka; 54:9 =6
Pengertian Median
Median menentukan letak tengah data setelah data disusun menurut urutan nilainya. Bisa juga nilai tengah dari data-data yang terurut. Simbol untuk median adalah Me. Dengan median Me, maka 50% dari banyak data nilainya paling tinggi sama dengan Me, dan 50% dari banyak data nilainya paling rendah sama dengan Me. Dalam mencari median, dibedakan untuk banyak data ganjil dan banyak data genap. Untuk banyak data ganjil, setelah data disusun menurut nilainya, maka median Me adalah data yang terletak tepat di tengah.
Misalnya: Tentukan median dari data 6,4,5,7,8,4,6,7,7
Penyelesaian: Urutkan terlebih dahulu data dari yang terkecil yaitu 4,4,5,6,6,7,7,7,8
Dari data diatas ada 9 data maka mediannya atau nilai tengahnya diantara data ke 4 dan 5 karna 9:2 =4,5
Maka median dari data tersebut adalah 6
Pengertian Modus
Modus adalah nilai yang sering muncul. Jika kita tertarik pada data frekuensi, jumlah dari suatu nilai dari kumpulan data, maka kita menggunakan modus. Modus sangat baik bila digunakan untuk data yang memiliki sekala kategorik yaitu nominal atau ordinal.
Misalnya tentukan modus dari data 6,4,5,7,8,4,6,7,7
Penyelesaian : Maka kita lihat angka yang sering muncul yaitu:
Angka 6 sebanyak 2x
Angka 4 sebanyak 2x
Angka 5 sebanyak 1x
Angka 7 sebanyak 3x
Angka 8 sebanyak 1x
Maka dapat kita simpulkan modusnya yaitu 7 karna ia angka yang sering muncul
Kamis, 04 Januari 2018
Fungsi dan Relasi
Fungsi dan Relasi
1.Fungsi
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A(daerah asal atau domain), dengan tepat satu anggota himpunan B(daerah kawan atau kodomain). Himpuan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil (range).
• Menyatakan Fungsi
Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan
Contoh :
Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}. Jika fungsi f : A → B ditentukan dengan f(x) = 6 – 3x. Nyatakan dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan
Penyelesaian :
f(1) = 6 – 3 (1) = 6 – 3= 3
f(2) = 6 – 3(2) = 6 – 6 = 0
f(3) = 6 – 3(3) = 6 – 9 = -3
Diagram Panah
Diagram Cartesius
Himpunan Pasangan Berurutan
{(1, 3), (2, 0), (3, -3)}
Sifat Fungsi :
1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)
Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU. Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.
2.Relasi
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari”himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
4 cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
2. Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1. Membuat dua lingkaran atau ellips
2. Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
3. x dan y dihubungkan dengan anak panah
4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
3. Diagram Cartesius
Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar
2. y=B diletakkan pada sumbu tegak
3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)
4. Dengan Rumus
f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}
1.Fungsi
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A(daerah asal atau domain), dengan tepat satu anggota himpunan B(daerah kawan atau kodomain). Himpuan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil (range).
• Menyatakan Fungsi
Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan
Contoh :
Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}. Jika fungsi f : A → B ditentukan dengan f(x) = 6 – 3x. Nyatakan dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan
Penyelesaian :
f(1) = 6 – 3 (1) = 6 – 3= 3
f(2) = 6 – 3(2) = 6 – 6 = 0
f(3) = 6 – 3(3) = 6 – 9 = -3
Diagram Panah
Diagram Cartesius
Himpunan Pasangan Berurutan
{(1, 3), (2, 0), (3, -3)}
Sifat Fungsi :
1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)
Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU. Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.
2.Relasi
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari”himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
4 cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
2. Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1. Membuat dua lingkaran atau ellips
2. Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
3. x dan y dihubungkan dengan anak panah
4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
3. Diagram Cartesius
Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar
2. y=B diletakkan pada sumbu tegak
3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)
4. Dengan Rumus
f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}
SPLDV
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Definisi dan Bentuk Umum SPLDV
Sistem persamaan linear dua variabel (peubah) atau disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua (misal x dan y). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam x dan y dapat kita tuliskan sebagai berikut.
ax + by = c atau a1x + b1y = c1
px + qy = r a2x + b2y = c2
Dengan a, b, c, p, q dan r atau a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 merupakan bilangan-bilangan real. Dari bentuk umum di atas, apabila c1 = c2 = 0 maka sistem persamaan linier dua variabel itu dikatakan homogen. Sedangkan apabila c1 ≠ 0 atau c2 ≠ 0 maka sistem persamaan linier dua variabel itu dikatakan tak homogen. Agar kalian lebih paham mengenai perbedaan SPLDV homogen dan tak homogen ini, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh SPLDV homogen
x + 2y = 0
2x – y = 0
dan
x – 4y = 0
3x + 2y = 0
Contoh SPLDV tak homogen
2x + 3y = 1
x – y = 0
dan
x + 3y = −1
x – 4y = 2
Ciri–Ciri SPLDV
Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear dua variabel apabila memiliki karakteristik sebagai berikut.
■ Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
■ Memiliki dua variabel
■ Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)
Hal–Hal yang Berhubungan dengan SPLDV
Terdapat tiga komponen atau unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel, yakni: suku, variabel, koefisien dan konstanta. Berikut ini adalah penjelasan masing-masing komponen SPLDV tersebut.
1. Suku
Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.
Contoh :
8x – 4y + 4 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut adalah 8x , 4y dan 4.
2. Variabel
Variabel adalah peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y.
Contoh :
Siti memiliki 4 buah apel dan 8 buah mangga. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka:
Misal: apel = x dan mangga = y, sehingga persamannya adalah 4x + 8y
3. Koefisien
Koefisien adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel.
Contoh :
Siti memiliki 4 buah apel dan 8 buah mangga. Jika di tulis dalam bentuk persamaan maka:
Misal: apel = x dan mangga = y, sehingga persamannya adalah 4x + 8y. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 4 dan 8 adalah koefisien di mana 4 adalah koefisien x dan 8 adalah koefisien y.
4. Konstanta
Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel atau peubahnya.
Contoh :
2x + 5y + 4 = 0, dari persamaan tersebut konstanta adalah 4, karena 4 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.
Cara Penyelesaian SPLDV
Jika nilai x = x0 dan y = y0, dalam bentuk pasangan terurut ditulis sebagai (x0, y0) dan memenuhi sistem persamaan linear dua variabel berikut ini
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
maka haruslah berlaku hubungan :
a1x0 + b1y0 = c1
a2x0 + b2y0 = c2
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:
■ Metode grafik
■ Metode subtitusi
■ Metode eliminasi
■ Metode gabungan
■ Metode determinan
■ Metode invers matriks
Definisi dan Bentuk Umum SPLDV
Sistem persamaan linear dua variabel (peubah) atau disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua (misal x dan y). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam x dan y dapat kita tuliskan sebagai berikut.
ax + by = c atau a1x + b1y = c1
px + qy = r a2x + b2y = c2
Dengan a, b, c, p, q dan r atau a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 merupakan bilangan-bilangan real. Dari bentuk umum di atas, apabila c1 = c2 = 0 maka sistem persamaan linier dua variabel itu dikatakan homogen. Sedangkan apabila c1 ≠ 0 atau c2 ≠ 0 maka sistem persamaan linier dua variabel itu dikatakan tak homogen. Agar kalian lebih paham mengenai perbedaan SPLDV homogen dan tak homogen ini, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh SPLDV homogen
x + 2y = 0
2x – y = 0
dan
x – 4y = 0
3x + 2y = 0
Contoh SPLDV tak homogen
2x + 3y = 1
x – y = 0
dan
x + 3y = −1
x – 4y = 2
Ciri–Ciri SPLDV
Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear dua variabel apabila memiliki karakteristik sebagai berikut.
■ Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
■ Memiliki dua variabel
■ Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)
Hal–Hal yang Berhubungan dengan SPLDV
Terdapat tiga komponen atau unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel, yakni: suku, variabel, koefisien dan konstanta. Berikut ini adalah penjelasan masing-masing komponen SPLDV tersebut.
1. Suku
Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.
Contoh :
8x – 4y + 4 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut adalah 8x , 4y dan 4.
2. Variabel
Variabel adalah peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y.
Contoh :
Siti memiliki 4 buah apel dan 8 buah mangga. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka:
Misal: apel = x dan mangga = y, sehingga persamannya adalah 4x + 8y
3. Koefisien
Koefisien adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel.
Contoh :
Siti memiliki 4 buah apel dan 8 buah mangga. Jika di tulis dalam bentuk persamaan maka:
Misal: apel = x dan mangga = y, sehingga persamannya adalah 4x + 8y. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 4 dan 8 adalah koefisien di mana 4 adalah koefisien x dan 8 adalah koefisien y.
4. Konstanta
Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel atau peubahnya.
Contoh :
2x + 5y + 4 = 0, dari persamaan tersebut konstanta adalah 4, karena 4 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.
Cara Penyelesaian SPLDV
Jika nilai x = x0 dan y = y0, dalam bentuk pasangan terurut ditulis sebagai (x0, y0) dan memenuhi sistem persamaan linear dua variabel berikut ini
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
maka haruslah berlaku hubungan :
a1x0 + b1y0 = c1
a2x0 + b2y0 = c2
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:
■ Metode grafik
■ Metode subtitusi
■ Metode eliminasi
■ Metode gabungan
■ Metode determinan
■ Metode invers matriks
Matriks
Matriks
Pengertian Matriks
Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.
Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.
MACAM-MACAM MATRIKS
Berdasarkan Ordo
· Matriks Bujur Sangkar Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya
Contoh
· Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )
· Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.
Contoh : A = 3
5
7
· Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
Contah : B= 2 5
7 6
4 6
· Matriks datar adalah Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.
Berdasarkan Elemen-Elemen Penyusunnya
· Matriks Nol Adalah matriks nol karena semua elemennya bernilai NOL
· Matriks Diagonal Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol
· Matriks segi tiga atas Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol
· Matriks Sembarang adalah matriks yang tidak punya aturan – aturan khusus seperti di atas (seluruh elemennya adalah bebas).
· Matriks Segitiga Bawah adalah Kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
· Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama.
· Matriks Identitas Adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1
· Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)
Pengurangan Matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.
Pengertian Matriks
Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.
Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.
MACAM-MACAM MATRIKS
Berdasarkan Ordo
· Matriks Bujur Sangkar Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya
Contoh
· Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )
· Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.
Contoh : A = 3
5
7
· Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
Contah : B= 2 5
7 6
4 6
· Matriks datar adalah Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.
Berdasarkan Elemen-Elemen Penyusunnya
· Matriks Nol Adalah matriks nol karena semua elemennya bernilai NOL
· Matriks Diagonal Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol
· Matriks segi tiga atas Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol
· Matriks Sembarang adalah matriks yang tidak punya aturan – aturan khusus seperti di atas (seluruh elemennya adalah bebas).
· Matriks Segitiga Bawah adalah Kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
· Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama.
· Matriks Identitas Adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1
· Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)
Pengurangan Matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.
Peluang
Peluang dalam Matematika
Apakah kalian pernah bermain ular tangga? Di dalam permainan ular tangga tentu kalian akan menggunakan dadu untuk menentukan jumlah langkah yang harus kalian ambil. Pada proses pelemparan dadu, hasil atau angka yang mungkin muncul adalah 1,2,3,4,5, atau 6. Nah kemungkinan munculnya angka pada saat melempar dadu adalah salah satu contoh Peluang Matematika.
Contoh lain dari peluang matematika adalah pelemparan koin. Pada saat melempar koin ada dua buah kemungkinan sisi yang muncul. Sisi yang pertama adalah angka (A) dan sisi yang kedua adalah gambar (A). Nah, pada materi kali ini, akan memberikan rangkuman materi mengenai pengertian dan rumus peluang dalam matematika. Mari kita simak rangkuman materinya sebagai berikut:
Memahami Definisi dan Rumus Peluang dalam Matematika
Definisi Peluang
Peluang dapat didefinisikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa. Di dalam materi mengenai peluang, dikenal beberapa istilah yang sering digunakan, seperti:
Ruang Sampel
Ruang sampe ini Merupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi.
Titik Sampel
Titik Sampel merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel
Kejadian
Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang
Peluang Suatu Kejadian
1. Peluang Suatu Kejadian
Sebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenai ruang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel, sedangkan titik sampel adalah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.
n(A)
P(A) = ———
n(S )
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S
Contoh :
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:
a. ketiganya sisi gambar;
b. satu gambar dan dua angka.
Penyelesaian:
a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
Maka n(S) = 8
Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.
A = {GGG}, maka n(A) = 1
n(A) 1
P(A) = ——— =——
n(S ) 8
b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.
B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3
n(B) 3
P(B) = ——— =——
n(S ) 8
Apakah kalian pernah bermain ular tangga? Di dalam permainan ular tangga tentu kalian akan menggunakan dadu untuk menentukan jumlah langkah yang harus kalian ambil. Pada proses pelemparan dadu, hasil atau angka yang mungkin muncul adalah 1,2,3,4,5, atau 6. Nah kemungkinan munculnya angka pada saat melempar dadu adalah salah satu contoh Peluang Matematika.
Contoh lain dari peluang matematika adalah pelemparan koin. Pada saat melempar koin ada dua buah kemungkinan sisi yang muncul. Sisi yang pertama adalah angka (A) dan sisi yang kedua adalah gambar (A). Nah, pada materi kali ini, akan memberikan rangkuman materi mengenai pengertian dan rumus peluang dalam matematika. Mari kita simak rangkuman materinya sebagai berikut:
Memahami Definisi dan Rumus Peluang dalam Matematika
Definisi Peluang
Peluang dapat didefinisikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa. Di dalam materi mengenai peluang, dikenal beberapa istilah yang sering digunakan, seperti:
Ruang Sampel
Ruang sampe ini Merupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi.
Titik Sampel
Titik Sampel merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel
Kejadian
Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang
Peluang Suatu Kejadian
1. Peluang Suatu Kejadian
Sebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenai ruang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel, sedangkan titik sampel adalah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.
n(A)
P(A) = ———
n(S )
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S
Contoh :
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:
a. ketiganya sisi gambar;
b. satu gambar dan dua angka.
Penyelesaian:
a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
Maka n(S) = 8
Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.
A = {GGG}, maka n(A) = 1
n(A) 1
P(A) = ——— =——
n(S ) 8
b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.
B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3
n(B) 3
P(B) = ——— =——
n(S ) 8
SPLTV
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah persamaan yang mengandung 3 variabel/peubah dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum atau bentuk baku dari SPLTV adalah sebagai berikut.
ax + by + cz = d atau a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.
Keterangan:
a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x
b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y
c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z
d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Bentuk umum SPLTV dapat dituliskan sebagai berikut:
Penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Determinan
Dalam pasal ini, hanya akan dibahas dua metode pertama
1. Metode Substitusi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut.
Langkah 1:
Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan sebagai fungsi dan , atau sebagai fungsi dan , atau sebagai fungsi dan.
Langkah 2:
Substitusikan atau yang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga di dapat SPLDV.
Langkah 3:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada Langkah 2.
2. Metode Eliminasi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Eliminasi salah satu peubah atau sehingga diperoleh SPLDV.
Langkah 2:
Selesaikan SPLDV yang didapat pada Langkah 1.
Langkah 3:
Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada Langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.
3. Metode Eliminasi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Eliminasi salah satu peubah atau sehingga diperoleh SPLDV.
Langkah 2:
Selesaikan SPLDV yang didapat pada Langkah 1.
Langkah 3:
Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada Langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan :
Sistem persamaan linear yang disusun dalam bentuk matriks juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode determinan. Misalnya, sistem persamaan linear untuk dua variabel dan tiga variabel adalah sebagai berikut.
a. ax + by = p
cx + dy = q
b. a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah persamaan yang mengandung 3 variabel/peubah dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum atau bentuk baku dari SPLTV adalah sebagai berikut.
ax + by + cz = d atau a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.
Keterangan:
a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x
b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y
c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z
d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Bentuk umum SPLTV dapat dituliskan sebagai berikut:
Penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Determinan
Dalam pasal ini, hanya akan dibahas dua metode pertama
1. Metode Substitusi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut.
Langkah 1:
Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan sebagai fungsi dan , atau sebagai fungsi dan , atau sebagai fungsi dan.
Langkah 2:
Substitusikan atau yang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga di dapat SPLDV.
Langkah 3:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada Langkah 2.
2. Metode Eliminasi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Eliminasi salah satu peubah atau sehingga diperoleh SPLDV.
Langkah 2:
Selesaikan SPLDV yang didapat pada Langkah 1.
Langkah 3:
Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada Langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.
3. Metode Eliminasi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Eliminasi salah satu peubah atau sehingga diperoleh SPLDV.
Langkah 2:
Selesaikan SPLDV yang didapat pada Langkah 1.
Langkah 3:
Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada Langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan :
Sistem persamaan linear yang disusun dalam bentuk matriks juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode determinan. Misalnya, sistem persamaan linear untuk dua variabel dan tiga variabel adalah sebagai berikut.
a. ax + by = p
cx + dy = q
b. a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Tips tampil menawan dikelas Matematika
Tips Tampil Menawan di Kelas Matematika
Bisa dibayangkan ketika berada di kelas matematika (pelajaran matematika), sudah pelajarannya angka-angka melulu (yang membuat pusing) sang guru yang membawakannya tidak sedap dipandang mata, pasti membosankan. Nah, mari buat anak didik menyukai pelajaran matematika melalui berbagai upaya. Selain pembawaan materi yang enak dan mudah dimengerti oleh anak, penampilan juga perlu menjadi perhatian guru ketika memberikan materi pelajaran matematika.
Tampil menawan tidak berarti harus berwajah cantik atau ganteng (kalau soal ini kan )
Berikut tips tampil menawan bagi para guru saat menyampaikan materi pelajaran matematika:
1. Berpakaian yang santun, sopan dan rapi
Berpakaianlah yang sopan sesuai dengan standar model/bentuk yang telah ditentukan oleh pihak sekolah, karena sekolah biasanya punya regulasi tersendiri tentang pakaian para gurunya. Seandainya ingin melakukan modifikasi dari model yang telah ditentukan, maka lakukan sepanjang tidak melanggar aturan dan jangan pula terlalu berlebihan. Sepakat kan, pakaian yang bagus tidak harus terbuat dari bahan yang mahal, akan tetapi ada keserasian antara warna, model dan kondisi/bentuk tubuh kita. Tentunya jangan pula seronok.
2. Bagi wanita, gunakan make-up sewajarnya
Kalau yang ini khususnya untuk para guru wanita. Wanita dengan profesi apapun (termasuk guru tentunya) identik dengan make-up. Gunakan make-up secukupnya (tidak berlebihan). Jika perlu menggunakan lipstik, maka gunakanlah lipstik dengan warna yang tidak mencolok dan tentunya serasi serta tidak berlebihan. Tidak salah juga mempergunakan pemerah pipi, namun juga tetap harus disesuaikan dengan warna kulit wajah dan tidak berlebihan. Tentunya tidak sama kan make-up yang kita gunakan saat mengajar dengan saat hadiri pesta perkawinan. Anda gak suka juga kan jika disebut menor saat mengajar.
3. Jaga kebersihan mulut
Nah, mengajar membuat Anda sering berbicara dan berkomunikasi dengan siswa, makanya menjaga aroma bau mulut agar tetap normal menjadi keniscayaan. Hindari makanan pemicu bau mulut saat akan mengajar, seperti bawang atau jengkol (jika Anda menyukai makanan ini, ada tempat dan waktu yang tepat kan?). Yang tidak .kalah pentingnya adalah menjaga kebersihan daerah sekitar mulut. Beberapa cairan kumur penghilang bau mulut mungkin bisa Anda gunakan. Tidak ada salahnya pula ngaca sebelum mengajar karena barang kali ada sisa makanan yang tersisa pada gigi Anda.
4. Rambut yang rapih
Rambut yang rapih juga perlu menjadi perhatian guru. Khususnya bagi guru laki-laki, rambut yang panjang cenderung tidak rapi dan membawa kesan awut-awutan dan tidak terawat. So, potonglah rambut dengan gaya kesukaan Anda (namun tetap wajar) secara rutin. Bagi guru perempuan yang berjilbab, sesuaikan warna jilbab dengan warna pakaian.
5. Gunakan parfum seperlunya
Pada saat mengajar mungkin Anda perlu berdekatan dengan siswa. Ga lucu kan kalau anak-anak didik Anda rasan-rasan dengan teman sekelas bahwa bau badan sang guru tidak enak. Maka gunakanlah parfum sekedarnya untuk memberi aroma tubuh yang enak. jangan pula berlebihan, karena tentu akan menjadi bahan pembicaraan siswa-siswa Anda.
6. Jaga kebersihan wajah/muka
Nah, ini juga penting, wajah kotor penuh dengan jerawat (kecuali telah diusahakan tapi jerawatpun masih) tentu merupakan pemandangan yang tidak enak. Selalu bersihkan dan rawat wajah Anda selain agar tampak bersinar tentu akan memberi aura yang positif.
7. Jangan lupa, jaga kebersihan anggota badan lainnya
wajah, make-up dan pakaian sudah oke, namun ga lucu kan ketika jari Anda menunjuk buku siswa ternyata diujung kukunya ada kotoran karena kuku kita yang panjang dan tidak terawat. Wah, Anda bisa digeneralisasi oleh siswa kalau termasuk orang yang tidak bisa merawat tubuh dan tidak peduli dengan kebersihan. So, lakukan secara berkala memotong, merapikan dan membersihkan kuku.
8. Kuasai materi dan cara mengajar
Point angka 1 sampai dengan 7 akan sia-sia jika Anda tidak menguasai materi pelajaran matematika dan cara menyajikan materi dengan baik dan benar. Ingat Anda bukan model loh, tapi seorang guru. Jadi persiapkan materi dan gaya mengajar Anda dengan seksama dan serius.
Guru yang rapih dan menawan pasti akan menimbulkan kesan pada siswa yang membuat siswa akan menyukai dengan apa yang disampaikan sang guru. So, mari kita buat anak belajar menyukai matematika, dengan memulai dari diri kita.
Bisa dibayangkan ketika berada di kelas matematika (pelajaran matematika), sudah pelajarannya angka-angka melulu (yang membuat pusing) sang guru yang membawakannya tidak sedap dipandang mata, pasti membosankan. Nah, mari buat anak didik menyukai pelajaran matematika melalui berbagai upaya. Selain pembawaan materi yang enak dan mudah dimengerti oleh anak, penampilan juga perlu menjadi perhatian guru ketika memberikan materi pelajaran matematika.
Tampil menawan tidak berarti harus berwajah cantik atau ganteng (kalau soal ini kan )
Berikut tips tampil menawan bagi para guru saat menyampaikan materi pelajaran matematika:
1. Berpakaian yang santun, sopan dan rapi
Berpakaianlah yang sopan sesuai dengan standar model/bentuk yang telah ditentukan oleh pihak sekolah, karena sekolah biasanya punya regulasi tersendiri tentang pakaian para gurunya. Seandainya ingin melakukan modifikasi dari model yang telah ditentukan, maka lakukan sepanjang tidak melanggar aturan dan jangan pula terlalu berlebihan. Sepakat kan, pakaian yang bagus tidak harus terbuat dari bahan yang mahal, akan tetapi ada keserasian antara warna, model dan kondisi/bentuk tubuh kita. Tentunya jangan pula seronok.
2. Bagi wanita, gunakan make-up sewajarnya
Kalau yang ini khususnya untuk para guru wanita. Wanita dengan profesi apapun (termasuk guru tentunya) identik dengan make-up. Gunakan make-up secukupnya (tidak berlebihan). Jika perlu menggunakan lipstik, maka gunakanlah lipstik dengan warna yang tidak mencolok dan tentunya serasi serta tidak berlebihan. Tidak salah juga mempergunakan pemerah pipi, namun juga tetap harus disesuaikan dengan warna kulit wajah dan tidak berlebihan. Tentunya tidak sama kan make-up yang kita gunakan saat mengajar dengan saat hadiri pesta perkawinan. Anda gak suka juga kan jika disebut menor saat mengajar.
3. Jaga kebersihan mulut
Nah, mengajar membuat Anda sering berbicara dan berkomunikasi dengan siswa, makanya menjaga aroma bau mulut agar tetap normal menjadi keniscayaan. Hindari makanan pemicu bau mulut saat akan mengajar, seperti bawang atau jengkol (jika Anda menyukai makanan ini, ada tempat dan waktu yang tepat kan?). Yang tidak .kalah pentingnya adalah menjaga kebersihan daerah sekitar mulut. Beberapa cairan kumur penghilang bau mulut mungkin bisa Anda gunakan. Tidak ada salahnya pula ngaca sebelum mengajar karena barang kali ada sisa makanan yang tersisa pada gigi Anda.
4. Rambut yang rapih
Rambut yang rapih juga perlu menjadi perhatian guru. Khususnya bagi guru laki-laki, rambut yang panjang cenderung tidak rapi dan membawa kesan awut-awutan dan tidak terawat. So, potonglah rambut dengan gaya kesukaan Anda (namun tetap wajar) secara rutin. Bagi guru perempuan yang berjilbab, sesuaikan warna jilbab dengan warna pakaian.
5. Gunakan parfum seperlunya
Pada saat mengajar mungkin Anda perlu berdekatan dengan siswa. Ga lucu kan kalau anak-anak didik Anda rasan-rasan dengan teman sekelas bahwa bau badan sang guru tidak enak. Maka gunakanlah parfum sekedarnya untuk memberi aroma tubuh yang enak. jangan pula berlebihan, karena tentu akan menjadi bahan pembicaraan siswa-siswa Anda.
6. Jaga kebersihan wajah/muka
Nah, ini juga penting, wajah kotor penuh dengan jerawat (kecuali telah diusahakan tapi jerawatpun masih) tentu merupakan pemandangan yang tidak enak. Selalu bersihkan dan rawat wajah Anda selain agar tampak bersinar tentu akan memberi aura yang positif.
7. Jangan lupa, jaga kebersihan anggota badan lainnya
wajah, make-up dan pakaian sudah oke, namun ga lucu kan ketika jari Anda menunjuk buku siswa ternyata diujung kukunya ada kotoran karena kuku kita yang panjang dan tidak terawat. Wah, Anda bisa digeneralisasi oleh siswa kalau termasuk orang yang tidak bisa merawat tubuh dan tidak peduli dengan kebersihan. So, lakukan secara berkala memotong, merapikan dan membersihkan kuku.
8. Kuasai materi dan cara mengajar
Point angka 1 sampai dengan 7 akan sia-sia jika Anda tidak menguasai materi pelajaran matematika dan cara menyajikan materi dengan baik dan benar. Ingat Anda bukan model loh, tapi seorang guru. Jadi persiapkan materi dan gaya mengajar Anda dengan seksama dan serius.
Guru yang rapih dan menawan pasti akan menimbulkan kesan pada siswa yang membuat siswa akan menyukai dengan apa yang disampaikan sang guru. So, mari kita buat anak belajar menyukai matematika, dengan memulai dari diri kita.
Langganan:
Postingan (Atom)